유클리드가 들려주는 삼각형

(1)삼각형이 왜 기본 도형일까요?

1. 도형의 기본 요소 : 점, 선, 면

@ 점 :  ‘ ∙ ’ 위치만 있고 크기가 없다.

@ 선 : ‘                ’ 길이는 있고 폭은 없다.

@ 면 : ‘          ’ 폭은 있고 부피는 없다.

2. 점 한 개로는 다른 도형을 만들지 못한다. 점이 두 개 있으면 선분이나 직선을 만들 수 있다. 그러나 면을 만들지는 못한다.

점이 세 개가 되면 드디어 평면도형인 삼각형을 만들 수 있다. 즉 삼각형은 가장 적은 개수의 점으로 만들 수 있는 평면도형이다. 그래서 삼각형을 기본 도형이라 부른다.

삼각형은 세변과 세 개의 꼭짓점을 가진 도형으로 면을 갖고 있는 도형 중 점과 선의 수가 가장 적은 평면도형이다.

3. 삼각형을 여러 개 이어 붙이면 여러 가지 모양을 만들 수 있다. 삼각형이 기본 도형이라 불리는 또 다른 이유는 다른 도형을 삼각형 몇 개를 붙여 만들어 낼 수 있기 때문이다.

앞의 사각형 오각형 육각형처럼 세 개 이상의 선분으로 이루어진 평면도형들에 대각선을 그리면 모두 삼각형으로 나눌 수 있다. 원과 달리 삼각형으로 나누어지는 세 개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 다각형이라 한다. 삼각형은 다각형 중에서 가장 변의 개수가 적은 도형이다.

(2)여러 가지 삼각형

1.각 : 한점에서 그은 두 개의 반직선 사이에 이루어지는 도형을 말한다. 이때 다각형에서 두 변으로 이루어지는 내부의 각을 내각이라 한다. 삼각형의 내각의 합은 모두 세 개다. 삼각형의 내각은 마주보고 있는 변의 길이에 따라 달라 진다.

마주보고 있는 변의 길이가 길수록 내각의 크기가 커지고 마주보고 있는 변의 길이가 짧을 수록 내각의 크기는 작아진다. 그래서 내각의 크기와 변의 길이는 서로 항상 영향을 준다.

2. 내각의 크기에 따라 삼각형 구분하기

@삼각형을 구분할 때 한각이 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 한다. 두변의 사이가 직각보다 크게 벌어지고 평각(180)보다 작은 각이 될 때 우리는 둔각 이라고 한다. 그래서 한각이 둔각인 삼각형을 둔각 삼각형이라 한다. 세 내각의 크기가 모두 90보다 작은 삼각형은 예각삼각형이라 한다.

3.변의 길이에 따라 삼각형 구분하기

두변의 길이가 갘은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

이등변삼각형이 아닌 삼각형들 즉 세변의 길이가 모두 다른 삼각형은 부등변삼각형이다.

세변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 부른다. 변의 길이가 같기 때문에 세 내각의 크기도 같다.그러나 어떤 삼각형이 정삼각형이면 그것은 이미 이등변삼각형이므로 변의 길이에 따라서 삼각형을 구분할 때 이등변삼각형과 부등변삼각형 두 종류로 구분할 쑤 있다.

(3)삼각형의 내각과 외각

1.삼각형은 내부에 세 개의 각을 갖고 있는데 이런 각을 내각이라한다. 삼각형의 내각은 삼각형의 모양이 달라질 때마다 크기가 달라지기 때문에 하나하나에 대한 특징을 말할 수는 없다. 하지만 세 내각을 합친 크기를 살펴보면 평각 180도가 된다는 것을 확인할 수 있다. 어떠한 삼각형이라 할지라도 삼각형의 내각의 합은 반드시 180도이다.

고대 그리스의 수학자 탈레스는 두 직선이 교차할 때 맞꼭지각의 크기가 서로 같다는 것을 논리적인 설명을 통해 증명했으며 여러개의 직선이 서로 만나 이루어지는 동위각과 엇각에 대한 특징들도 증명했다

특히 평행한 두 개의 직선이 다른 직선과 만날 때 생기는 동위각과 엇각의 크기는 중요한 성질을 갖고 있다.

이처럼 서로 평행안 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 동위각의                                             크기가 같고, 엇각의 크기 역시 같다. 이것을 반대로 생각하면                                              동위각의 크기나 엇각의 크기가 같다면 두 직선이 평행하다는 것                                             을 알수 있다.

2.삼각형 세 내각의 합

(4)삼각형을 어떻게 만들까요?

1.세변의 길이가 주어질 때

세변이 주어질 때 삼각형을 이루려면 두 변의 길이의 합이 나머지 변의 길이보다 커야만 한다.

2. 두 변과 그 끼인각이 주어질 때

두 변만이 주어지면 두 막대 사이를 벌리고 줄일 때마다 서로 다른 삼각형 모양이 무수히 만들어지기 때문에 하나의 삼각형을 결정지을 수 없습니다. 그래서 원하는 삼각형 하나를 정확히 만들려면 다른 조건이 필요하다. 나머지 변의 길이가 주어지지 않는다면 삼각형의 또 다른 구성요소인 각의 크기가 필요하다. 한 내각의 크기는 마주보는 변의 길이에 따라 커지고 작아지기 때문에 변의 길이 대신 각의 크기로 삼각형을 결정지을 수 있다.

삼각형에서 두 변과 한 각이 주어질 때 한쪽 변에만 각이 붙어 있으면 삼각형 모양이 두 개 이상 나오거나 만들어지지 않는 현상이 나타난다. 그래서 두 변과 한 내각이 주어지는 경우 주어진 내각을 두변 사이의 끼인각으로 놓아야 원하는 모양의 삼각형을 만들 수 있다.

3. 한 변의 길이와 그 양 끝각이 주어질 때

한 변만 주어진다면 우리는 삼각형을 만들기 위해 다른 조건 들을 더 생각할 수 밖에 없다. 만약 한 변과 각 하나만을 이용하여 삼각형을 만들고자 한다면 두 변만으로 삼각형을 만들려 했을 때 처럼 무수히 많은 삼각형이 만들어진다. 한 변과 한 내각으로는 삼각형을 하나의 모습으로 결정짓기가 어렵다. 한변과 두 개의 각이 주어져도 다양한 삼각형 모양이 만들어 진다. 주어진 한 변에 대해 각이 어떻게 위치하느냐에 따라 세가지 모양의 삼각형이 만들어 지므로 삼각형을 하나로 결정 할 수 없다. 한 변에 주어진 두 각중 한 각만을 끝각으로 하는 경우 다음의 그림처럼 두가지 모양이 나타난다.

따라서 이중 한 모양만을 선택하려면 삼각형을 그릴때

주어진 변에 어떤 각을 끝각으로 했는지 설명을 해야한다.

주어진 변에 어느 각을 끝각으로 할 것인가 매번 알려줄                                                   수 없기 때문에 삼각형을 하나의 모양으로 결정하려 한다면                                                  주어진 한 변에 두객의 각을 양 끝각으로 하면 된다.한 변과 양 끝각으로 삼각형을 만들게 되면 항상 한가지 모양의 삼각형을 결정할 수 있다.

(5)합동의 의미

1.합동이란 : 크기와 모양이 같아서 완전히 포개어 지는 도형을 합동이라 한다.

2.테셀레이션 : 똑같은 모야의 도형을 이용해 어떠한 빈틈이나 겹침 없이 평면이나 공간의 덮는 것을 말한다.

네덜란드 출신의 ‘모리츠 코르넬리스 에셔’라는 판화가가 유명하다. 세계 여러나라를 여행하며 1930년대 아라베스크 양식의 모자이크에 심취하면서 자신만의 작품 세계를 갖게 되었다고 한다.

3.합동에 대한 용어

두도형이 합동일 때 이것을 기호로 나타내면 P≡Q이다.

두 도형의 넓이가 같다면 P=Q이고 변의 길이 뿐아니라 각까지 모든 모양이 같은 합동의 경우는 ≡을 사용한다. 합동인 두 도형에서 서로 포개어지는 꼭짓점, 변, 각 등을 서로 대응한다고 한다. 합동인 두 도형은 모양과 크기를 바꾸지 않고 완전히 포갤 수 있으므로 대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기는 서로 같다. 합동인 두 삼각형이 있을때 실제로 합동인지 확인하기 위해 삼각형1을 떼어 낸 후 삼각형 2에 포개면 같아 지는 것이다. 이렇게 완전히 포개져 대응되는 점 D와A를 대응점, 변 DE와 변 AC를 대응변, 각D와 A를 대응각 이라고 한다.         D(A)

F(B)

E(C)

4. 합동과 닮음

두 개의 도형에서 한쪽을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 것이 다른 쪽과 합동이 될 때, 이두 도형을 ‘닮았다’고 하고, 닮은 두 도형을 닮은 도형 또는 닮은 꼴이라고 한다. 닮은 두 도형의 크기와 모양이 완전히 같을 때 즉 합동일 때 두 도형의 각 변의 길이는 1:1 비율이 된다. 크기는 다르지만 모양이 완전히 같은 닮은 도형일 때, 도형의 각 변의 길이는 모두 일정한 비율로 확대 또는 축소 된다. 그러나 세 내각의 크기는 변하지 않는다. 내각의 크기가 달라지면 도형의 모양이 달라지기 때문이다. 두 도형이 닮음인지 아닌지 알기 위해서는 서로 짝이 되는 변의 길이의 비와 내각의 크기를 비교해야 한다. 합동의 경우에는 각각 대응하는 변의 길이를 비교하지만 일반적이 닮음의 경우에는 대응하는 변들의 길이의 비를 비교하게 된다. 합동은 닮음의 비가 1:1인 큭별한 닮음이기 때문에 대응하는 각의 크기는 당연히 같은지 확인하고, 대응하는 변의 길이에 대하여 그 비가 아니라 그 길이 자체로 비교하는 것이다. 두 도형이 닮음이라는 것을 나타내는 기호는 ‘∾’이다.

(6)삼각의 합동의 조건

1.삼각형의 합동 조건 : 세변의 길이가 각각 정해진 삼각형과 다른 삼각형이 있을 때 합동인지 확인하는 방법은 바로 다른 삼각형의 변의 길이를 재는 것이다. 주어진 세 변의 길이로 삼각형을 만들게 되면 두 삼각형의 모양과 크기가 같아져 서로 완전히 포갤 수 있다. 따라서 세변을 알면 삼각형의 모양을 결정할 수 있기 때문에 합동임을 알 수 있다. (대응하는 세변의 길이가 각각 같을 때 두 삼각형은 합동이다.)

2. 삼각형의 다른 결정조건인 ‘두변과 그 끼인각의 크기가 주어질 때도’ 모양과 크기가 같은 삼각형을 결정할 수 있기 때문에 합동조건에 이용된다. (대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 두 삼각형은 합동이다)

3.‘한변의 길이와 그 양 끝각이 주어질 때’도 삼각형을 하나로 결정할 수 있기 때문에 합동이 되는 조건이 된다. 각만 주어질 경우에는 변의 길이가 고정되지 않아 삼각형이 무수히 많이 만들어지기 때문에 대응하는 변의 길이를 적어도 하나는 비교해야 합동임을 알 수 있다. (대응하는 한변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 두 삼각형은 합동이다.)

탈레스는 ‘대응하는 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 두 삼각형은 합동이다’라는 조건을 이용하여 먼 바다에 떠 있는 배 까지 거리를 재기도 하였다.

*삼각형의 합동 조건* (변은 side, 각은 angle )

~대응하는 세변의 길이가 각각 같다 : SSS합동

~대응하는 두변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다 : SAS 합동

~대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각같다. : ASA 합동

(7) 삼각형의 넓이에 대하여

1. 삼각형과 사각형의 넓이에 관계

삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변 위의 점을 연결하여 그 변과 직각을 이루는 선분을 그립니다. 이때 그려진 선분을 바로 삼각형의 높이라고 한다.

정사각형 하나의 넓이가 1이라 할 때 주어진 삼각형 모양의 넓이는 2가 되는 것을 알 수 있다. 삼각형 모양에서 적절한 조각을 잘라내어 새로 붙이게 되면 직사각형 모양을 만들 수 있기 때문이다. 그래서 삼각형의 넓이는 가로의 길이가 삼각형의 밑변의 길이와 같고 세로의 길이가 삼각형 높이의 절반인 직사각형의 넓이와 같다는 것을 알 수 있다. 즉 어떤 삼각형의 높이와 밑변의 길이를 알고 있다면 그 삼각형의 넓이는 사각형의 넓이를 이용하여 구할 수 있다. 직각삼각형에 합동인 삼각형을 붙이고 또다른 직각삼각형에도 마찬가지로 합동인 삼각형을 빗변이 공통이 되게 붙인다. 그러면 아래 그림처럼 삼각형 ABC의 넓이는 겉에 있는 직사각형 넓이의 절반이 된다.                  A

직사각형의 가로의 길이가 삼각형 밑변의 길이와                                                          같고 직사각형의 세로의 길이는 삼각형의 높이와                                                          같다.  (*삼각형의 넓이*)

= (직사각형의 넓이)÷2=(가로의 길이)×(세로의길                                                            이)÷2=(밑변의 길이)×(삼각형의 높이)÷2

B                                    C

D

2.평행선과 삼각형의 넓이

평행선에 삼각형을 그릴 때 그 밑변의 길이만 갖게 하면 높이가 모두 같기 때문에 넓이가 같은 삼각형을 무수히 많이 그릴 수 있다.

(8)이등변삼각형과 정삼각형

~사람들은 오래전부터 이등변삼각형의 두 변과 두 밑각의 크기가 같다는 것을 알고 이를 이용해 화살촉 같은 물건을 만들었다. 삼각형의 뾰족한 부분이 날아가는 화살촉의 공기 저항을 작게 만들고, 길이가 같은 두 변이 완벽한 균형을 이루어 날아가도록 해 주기 때문에 구석기 시대부터 그 모양을 이용했다고 한다.

1.이등변 삼각형의 성질

이등변 삼각형은 두 변의 길이가 같고 마주보는 두 밑각의 크기가 서로 같다. 이등변삼각형의 길이가 같은 두 변을 서로 만나게 접으면 두 밑각의 크기가 같아짐을 알 수 있다. 사람들은 이등변삼각형의 양쪽 모양이 똑같이 생겼기 때문에 두 밑각의 크기가 같을 것이라고 생각했지만 도든 이등변삼각형에 대해서 이런 성질이 성립한다는 것은 탈레스 같은 수학자들이 증명을 통해 알아냈다.                                 A

-이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다-

이와 같은 정리는 우리가 배운 삼각형의 합동조건을 이용하여 증명할 수 있다.

이등변삼각형의 꼭지각A를 이등분하도록 밑변까지 선분AD를  그리면 두

삼각형ABD와 ACD는 합동이 된다. 왜냐하면 선분AD는 두 삼각형의 공통인 변으로

AD=AD 이고, 이등변 삼각형이니까 AB=AC 이다. 또 선분 AD를 그릴때 ∠A를

이등분한 것이므로 ∠BAD=∠CAD이다. 즉 대응하는 두 변의 길이가 같고     B              D           C

그 끼인각의 크기가 같으므로 두 삼각형 ABD와 ACD는 합동 SAS합동 이다.

두삼각형 ABD와 ACD가 합동이기 때문에 대응각인 ∠B=∠C 이므로 삼각형 ABC의 두 밑각의 크기는 같다.

이 증명을 통해 나머지 내각인 ∠ADB와 ∠ADC도 같은 것을 알 수 있다. 그런데 ∠ADB+∠ADC=∠BDC 즉 평각이므로 그것의 절반인 ∠ADB=∠ADC=90°가 된다. 즉 이등변 삼각형을 같은 길이의 변이 겹쳐지도록 접으면 직각삼각형을 만들 수 있다. △ABD와 △ACD가 합동이므로 BD=CD이고, ∠ADB=∠ADC=90° 이므로 AD와 BC는 수직이다. 여기서 이등변 삼각형의 두 번째 성질이 나온다.

~이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

2.어느것이 이등변 삼각형인가?

삼각형이 이등변삼각형인지 아닌지 알 수 있는 방법은 두 가지가 있다. 가장 쉬운 방법은 두 변의 길이가 같은지 확인하는 것이다. ‘이등변’이라는 말은 ‘두개의 같은 변’이라는 말이므로..... 또다른 방법은 두 개의 각을 비교해 보는 것이다. 두 개의 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

A            ∠A의 이등분선과 변BC의 교점을 D라 하면 ∠BAD=∠CAD이고 이미 ∠B=∠C

이므로 ∠ADB=180° - ∠CAD - ∠C = ∠ADC이다. 그리고 선분AD는 공통이

므로 그 길이가 같다. 즉 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양 끝각의 크기가 각각

같으므로 △ABD≡△ACD ASA합동 이다.

따라서 대응하는 변인 선분 AB와 선분AC의 길이가 같아지고 두 변이 같으므로 삼

각형 ABC는 이등변삼각형이다. 즉 두 낵가의 크기가 같으면 변의 길이를 확인하지

B           D          C   않아도 이등변삼각형임을 알 수 있다.

3.정삼각형의 성질

정삼각형은 이등변삼각형 중에서 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형이다. 삼각형의 종류를 배울 때 교통 표지판을 보면서 설명했듯이 정삼각형은 어느 방향으로 돌려보아도 모양이 균형 잡혀 있고 대칭적인 모양을 갖고 있다. 정삼각형은 세 변의 길이가 같기 때문에 세가지 다른 방법으로 삼각형을 반으로 접을 수 있다. 즉 이등변 삼각형의 대칭축은 하나이지만 정삼각형에는 대칭축이 세 개나 있다

A                            A                                 A

B                    C       B                    C             B                   C

정삼각형은 이등변삼각형의 성질을 갖고있기 때문에 세 내각의 크기가 모두 같다. 왜냐하면 정삼각형을 어느 방향으로 돌려보아도 모양이 똑같아 세 개의 내각 중 아무것이나 이등변삼가형의 꼭지각 역할을 할 수 있고 나며지 각의 밑각이 되므로 결국 세 내각이 모두 같은 크기를 갖게 됩니다. 정삼각형은 세변의 길이가 모두 같고 세 내각의 크기가 60°로 모두 같으며 세 꼭짓점을 기준으로 대칭축을 생각할 때 모두 대칭을 이루는 삼각형이다.

*파스칼 삼각형은 도형이 아니라 파스칼이 만든 특별한 수의 배열을 말한다. 파스칼은 열 세 살때 특이한 규칙을 가진 수의 삼각형을 발견했다. 18,19,20세기의 수학의 중심지가 서양이었기에 이 수의 삼각형도 17세기 사람인 파스칼이 만들었다고 알려져 파스칼 삼각형이란 이름이 붙었지만 실제 역사적으로는 동양인 중국에서 11세기에 살았던 천문학자이며 수학자인 가헌이 먼저 발견했다고 한다.

파스칼 삼각형은 만드는 방법이 단순하면서도 여러 가지 수학적인 의미를 가지는 수의 삼각형이다. 모든 줄의 가장 왼쪽과 가장 오른쪽의 숫자는 모두 1이다. 그런데 위에서 세 번째 줄부터 가운데 나오는 2는 바로 윗줄에 있던 1과2의 합인 것을 알 수 있다. 네 번째 줄에3도 바로 윗줄의 1과2의 합인 것을 알 수있다. 파스칼으 삼각형의 원리는 바로 윗줄의 이웃한 두 수의 합으로 수를 만들어 가는 것이다. 줄마다 나타나는 숫자들은 놀랍게도 이항계수,즉 (a+b)처럼 두 개의 항을 가진 식을 여러번 거듭하여 곱해 나갈 때 나타나는 결과의 각 항의 계수가 된다. 문자로 이루어진 식을 여러번 계산한다는 것은 무척 어려운 일인데 파스칼 삼각형에 나오는 숫자는 그 계산을 하지 않고도 어떤 결과가 나올지 알려줍니다. 파스칼 삼각형의 또 다른 특징 중 하나는 대각선 방향을 수를 읽어낼 때 삼각수를 찾을 수 있다는 것이다. 1,3,6,10,15,21등이 바로 삼각수에 속하는 것으로 삼각수는 1부터 배열해서 피라미드 모양 즉 삼각형 모양이 되는 수를 말한다.

(9)직각삼각형의 특별함